იპოვე მეგობარი?

1903 წლის ოქტომბერში აშშ-ს მათემატიკური საზოგადოების წინაშე კოლუმბიის უნივერსიტეტის პროფესორი ფრენკ ნელსონ კოული წარსდგა. მათემატიკის ისტორიის წიგნებში წერია, რომ მან ლექცია ჩაატარა, თუმცა მიუხედავად ამისა მთელმა ლექციამ სამარისებურ სიჩუმეში ჩაიარა, მხოლოდ დაფაზე ცარცის კაკუნი ისმოდა აქა-იქ… პროფესორმა ჯერ 2 აიყვანა 67-ე ხარისხში ქვეშმიწერით, შემდეგ 1 დააკლო და მიღებული ოცდაერთნიშნა რიცხვი 147573952589676412927 დაფის მარჯვენა კუთხეში საგანგებოდ ამოწერა. ამის შემდგომ კი 193707721-ის 761838257287-ზე ქვეშმიწერით გადამრავლებას შეუდგა. ორსაათიანი მდუმარე ანგარიშის შემდეგ ფრენკ ნელსონ კოულმა, მას შემდეგ რაც ამ რიცხვების ნამრავლი საგანგებოდ ამოწერილ რიცხვს დაემთხვა, ცარცი დადო და დამსწრე საზოგადოებამ აღფრთოვანებისგან ოვაციები ვერ შეიკავა. დიდი ხნის განმავლობაში უკრავდნენ ტაშს კოლუმბიის უნივერსიტეტის პროფესორს… ისმის შეკითხვა, კი მაგრამ რა გაუხარდათ ასეთი?!

ამ ისტორიის სათავე ძველ საბერძნეთში უნდა ვეძებოთ, უფრო სწორად კი მათს წარმოადგენებში. ისინი რიცხვებს ორ ნაწილად ჰყოფდნენ: მარტივ და შედგენილ რიცხვებად. როგორც მოგეხსენებათ, მარტივი ეწოდება რიცხვს, რომელიც მხოლოდ 1-ზე და საკუთარ თავზე იყოფა. შედგენილ რიცხვებს კი ძვ. ბერძნები სამ ჯგუფში აერთიანებდნენ, რომელთაც შესაბამისად ნაკლული, სრულყოფილი და ჭარბი რიცხვები ეწოდებოდათ. მარტივი წესი არსებობს, თუ როგორ გავარკვიოთ შედგენილი რიცხვი, მაგალითად 30, რომელ კატეგორიას განეკუთვნება: უნდა ავიღოთ მისი ყველა გამყოფი (საკუთარი თავის გარდა) და შევკრიბოთ – 1+2+3+5+6+10+15 = 42 , თუ გამყოფების ჯამი რიცხვზე მეტი აღმოჩნდება ის ჭარბ რიცხვებში ჩაეწერება, თუ ნაკლები – ნაკლულებში და თუ გაუტოლდება მაშინ – სრულყოფილ რიცხვებში (შესაბამისად 30 ჭარბი რიცხვია). ძველმა ბერძნებმა მხოლოდ ოთხი სრულყოფილი რიცხვი იცოდნენ: 6, 28, 496, 8128 (მათ სრულყოფილებაში დარწმუნება ადვილია, შეგიძლიათ თავად სცადოთ: 1+2+3=6, 1+2+4+7+14=28 და ა.შ.).

არსებობს მოსაზრება, რომ სრულყოფილი რიცხვების იდეა ძველ ბერძნებამდე ძვ. შუმერებმა და შუამდინარელებმაც იცოდნენ. სწორად ამით ხსნიან ბიბლიაში ღმერთის მიერ სამყაროს 6 დღეში შექმნის ფაქტს, თუმცა უმჯობესია თეოლოგიას შევეშვათ და მათემატიკას დავუბრუნდეთ… მე-16 საუკუნეში იტალიელმა პიეტრო კატალდიმ მეხუთე და მეექვსე სრულყოფილი რიცხვები (33550336 და 8589869056) აღმოაჩინა და რენესანსის ეპოქაში ამ რიცხვებზე სანადირო სეზონი გახსნა. რაც უფრო შორს მივდივართ მით უფრო რთულია რიცხვების მარტივ მამრავლებად დაშლა და შემდეგ გამყოფების პოვნა. არსებობს მეორე, შედარებით ადვილი გზა სრულყოფილი რიცხვების საპოვნელად, რომელიც ევკლიდეს სახელს უკავშირდება. დიდმა გეომეტრმა აღმოაჩინა, რომ თუკი p-ს და P-ს ისე შევარჩევთ, რომ ორივე მარტივი რიცხვი იყოს და ისინი აკმაყოფილებდნენ ფორმულას:

მაშინ სრულყოფილი რიცხვების მოძებნა შესაძლებელი გახდება ფორმულით: P (P+1) / 2. როდესაც პატარა p უდრის 2-ს, 3-ს, 5-ს და 7-ს  დიდი P უდრის 3-ს, 7-ს, 31-ს და 127-ს. შესაბამისად სრულყოფილი რიცხვები იქნება: 3*4/2 = 6, 7*8/2=28, 31*32/2=496, 127*128/2 = 8128… ყველაფერი ერთი შეხედვით მარტივად გამოიყურება: პრობლემა მხოლოდ დიდი და პატარა p-ების მოძებნაა, რომელიც ამავდროულად მარტივი რიცხვები უნდა იყოს. როგორც აღმოჩნდა ყველა მარტივი რიცხვი არ აკმაყოფილებს ამ ტოლობას, შესაბამისად მაშინდელი მათემატიკოსები პატარა  და დიდი p-ების ძებნას შეუდგნენ.

სწორად აქ მივადექით ჩვენი ისტორიის მთავარ გმირს ფრანცისკანელ ბერს, მარენ მერსენს, რომელიც პიერ ფერმას და რენე დეკარტის თანამედროვე და მეგობარი გახლდათ. მისი მთავარი გატაცება არითმეტიკა ყოფილა. უფრო კონკრეტულად კი მას ყველაზე მეტად ზემოხსენებული p და P-ები უჩქროლებდა გულს. დღესდღეობით ასეთ რიცხვებს მერსენის რიცხვები ჰქვია. თავის დროზე მარენ მერსენის ავტორიტეტი იმდენად მაღალი ყოფილა, რომ მარტივი რიცხვების შესახებ მისი აზრი ჭეშმარიტების ტოლფასი იყო. 1644 წელს მან გამოსცა წიგნი Cogitata Physico-Mathematica, სადაც დამტკიცების გარეშე ამცნო კოლეგებს, რომ როდესაც პატარა p ევკლიდეს ტოლობაში უდრის 2-ს, 3-ს, 5-ს, 7-ს, 13-ს, 17-ს, 19-ს, 31-ს, 67-ს, 127-ს და 257-ს დიდი P-ც მარტივი რიცხვიაო.

ამ წიგნმა დიდი თავსატეხი გაუჩინა მათემატიკოსებს. საიდან გამოთვალა მერსენმა  დიდი P-ები უცნობი იყო. ვერავინ შეძლო ორის 67-ე, 127-ე და 257-ე ხარისხებს დაკლებული ერთის გამყოფების პოვნა. მერსენის სიტყვაზე დაჯერებას კი მათემატიკოსთა შემდეგ თაობა არ აპირებდა (რომელთათვისაც ის ნამდვილად აღარ იყო ავტორიტეტი). საბოლოოდ გაირკვა, რომ იგი ცდებოდა, მან გამოტოვა 61-ე, 89-ე და 107-ე წევრები. ორ მარტივ რიცხვში კი შეცდა: 67-ე და 257-ე მარტივ რიცხვებს არ გვაძლევს. ორიდან ერთ-ერთი დაამტკიცა კიდეც ფრენკ ნელსონ კოულმა და ამის გამო უკრავდნენ მას ტაშს ლექციაზე შეკრებილი კოლეგები.

ამ ისტორიაში საინტერესო ის არის, რომ მერსენის წიგნში,  Cogitata Physico-Mathematica, გაპარული იყო ტიპოგრაფიული შეცდომა: 67-ის ნაცვლად უნდა ყოფილიყო 61! ფრენკ ნელსონ კოულს კი ეს შეცდომა რომ ეპოვნა, იგი ოცი წლის (!) განმავლობაში ცდილობდა  147573952589676412927-ის მარტივ მამრავლებად დაშლას და დაშალა კიდეც, თუმცა რომ არ შეშლოდა იმ ოჯახაშენებულ ასოთამწყობს მე-17 საუკუნეში, ეს კაცი ამდენს ხომ არ იწვალებდა?!